А.А. Шабалін
Кафедра Прикладна Математика, Фізико-Математичного інституту, Південно-Російського Державного Технічного Університету (НПІ)
Теорія оптимального портфеля допомагає скласти інвестиційний пакет фінансових активів, ризик якого мінімальний в порівнянні з усіма іншими можливими портфелями з активів цих компаній. В якості запобіжного ризику розглядається стандартне відхилення (або дисперсія), що характеризує ймовірність відхилення прибутковості портфеля від очікуваного значення. Будь портфель можна охарактеризувати двома параметрами - очікуваною прибутковістю і ризиком. Одним із способів застосування описаної теорії є побудова моделей математичної оптимізації та їх рішення, яке є структурою оптимального портфеля.
В даний час в Україні бурхливо розвивається ринок цінних паперів: з'являються нові фондові ринки, виставляються на торги нові цінні папери, з кожним роком збільшується обсяг операцій з цінними паперами. У розвивається сфері торгівлі інвестору досить складно скласти необхідний йому набір фінансових активів. Вирішення цього завдання дає теорія оптимального портфеля, за допомогою якої можна складати максимально диверсифіковані портфелі - такі, ризик яких мінімальний в порівнянні з усіма іншими можливими портфелями з акцій тих же компаній.
Отже, поставимо завдання побудови математичної моделі визначення оптимальної структури портфеля цінних паперів. Під оптимальністю в даному випадку розуміється отримання заздалегідь визначеного рівня прибутковості з мінімально можливим, при цьому фінансову операцію, рівнем ризику.
В яких пропорціях (частках) хi інвестор повинен розподілити вкладаємо суму між доступним набором фондових активів, якщо він побажає мати середню прибутковість від вкладених коштів у розмірі не менше d відсотків на місяць при мінімально можливому в цьому випадку ризик? Необхідно вибрати таку структуру інвестиційного портфеля, яка мінімізувала б величину його стандартного відхилення або його дисперсії при обраному рівні прибутковості.
У загальному вигляді математична модель знаходження оптимальної структури портфеля акцій виглядає наступним чином:
- частка i паперу в оптимальному портфелі; 
- номінальна прибутковість i-ої цінного паперу, 
- дисперсія дохідності i-ої цінного паперу, 
- запланована інвестором прибутковість.
Цільова функція являє собою дисперсію інвестиційного портфеля, що складається з n видів цінних паперів. Перше обмеження - це математична форма запису прибутковості реального інвестиційного портфеля. Друге обмеження відображає той факт, що при повному інвестуванні сума всіх часток буде складати одиницю.
Зробимо розрахунок конкретної структури інвестиційного портфеля із заданою очікуваною прибутковістю, що містить 8 видів акцій і один вид ДКО - 21165, всього n = 9. Припустимо, що цими акціями є цінні папери: звичайні акції (о.а.) РАО «ЄЕС Росії» ( EESR); о.а. ВАТ «Лукойл» (LKOH); о.а. ВАТ «Ростелеком» (RTKM); о.а. Сбербанк Росії (SBER); а.о. ВАТ "НК" ЮКОС "(UYKO); а.о. ВАТ" Татнефть "(TATN); а.о. ВАТ" Сибнефть "(SIBN); а.о. АТ" Свердловенерго "(SVEN).
Позначимо х1, х2, ..., х8 як частки в оптимальному портфелі представленої вище послідовності акцій і х9 - ГКО-21165.
Припустимо, що інвестор бажає отримати від цього портфеля гарантовану прибутковість, наприклад, перевищує середню на фондовому ринку. Мірою цієї прибутковості може служити збільшення російського фондового індексу ММВБ.
Часовий інтервал, виходячи з якого визначалася статистична інформація (котирування ц / б): з 20.01.2003 по 20.06.2003 р
По котируваннях цінних паперів визначимо їх прибутковість (внаслідок нестачі інформації по дивідендах досліджуваних акцій, в прибутковості вони не враховані).
Для формування цільової функції використовуються показники прибутковості цінних паперів за досліджуваний період з 1 вкладеного рубля, тобто покупка ц / б на початку періоду і продаж в кінці (коригування на інфляцію не врахована).
Для побудови обмежень використовуються прибутковості цінних паперів розраховані за більш короткий інтервал часу ніж досліджуваний період, з метою отримання інвестором запланованої прибутковості протягом усього періоду, тобто в кожному з інтервалів. Отже в нашому прикладі інтервал обраний на протязі 3-х декад, а кількість періодів дорівнює п'яти (t = 1..5).
Пошук рішення визначався за допомогою Microsoft Excel. При пошуку рішення використовується алгоритм нелінійної оптимізації Generalized Reduced Gradient (GRG2), розроблений Леоном Ласдоном (Leon Lasdon, University of Texas at Austin) і Аланом Уорен (Allan Waren, Cleveland State University).
При вирішенні поставленого завдання було знайдено оптимальне рішення задовольняє всім обмеженням:
Таблиця 1 Рішення завдання оптимізації.
Значення дисперсії портфеля одно = 0.00069
Підсумок: При бажанні інвестора мати прибутковість вище середньої на фондовому ринку ММВБ кожен місяць періоду інвестування і при цьому вкладенні нести мінімальний ризик, йому необхідно розподілити вкладаємо суму наступним чином:
- о.а. РАО «ЄЕС Росії» (EESR) - 12,16%;
- о.а. ВАТ «Лукойл» (LKOH) - 39,14%;
- о.а. ВАТ «Ростелеком» (RTKM) - 29,19%;
- а.о. ВАТ "Сибнефть" (SIBN) - 2,36%;
- а.о. АТ "Свердловенерго" (SVEN) - 17,14%.
література
- Кузнецов М.В., Овчинников А.С. Технічний аналіз ринку ц / б. - М .: Лань, 1996. - 340 с.
- Шарп У.Ф., Александер Г.Дж., Бейлі Дж. В. Інвестиції: пров. з англійської. - М .: Инфра-М, 1997..
- Четиркін Є.М. Фінансова математика. -М .: Фенікс, 2000. - 285 с.
- Швангер Дж. Технічний аналіз. - М .: Инфра, 2001. - 250с.
- Теорія оптимального портфеля http://franklin-grant.ru/ru/technologies
346411, г.Новочеркасск, вул. Желябова, 79, т.4-15-25
e-mail: [email protected]
Оптимальний портфель, портфель замовлень, математична оптимізація, прибутковість, ризик, структура портфеля, номінальна прибутковість, російські цінні папери, прибутковість російських цінних паперів, дисперсія
