A.A. Shabalin
Katedra Matematyki Stosowanej, Instytut Fizyki i Matematyki, Państwowy Uniwersytet Techniczny Południowej Rosji (NPI)
Teoria optymalnego portfela pomaga stworzyć pakiet inwestycyjny aktywów finansowych, którego ryzyko jest minimalne w porównaniu do wszystkich innych możliwych portfeli z aktywów tych spółek. Jako miarę ryzyka bierze się pod uwagę odchylenie standardowe (lub wariancję), które charakteryzuje prawdopodobieństwo zwrotu portfela z wartości oczekiwanej. Każdy portfel można scharakteryzować dwoma parametrami - oczekiwanym zwrotem i ryzykiem. Jednym ze sposobów zastosowania opisanej teorii jest konstrukcja matematycznych modeli optymalizacyjnych i ich rozwiązanie, które jest strukturą optymalnego portfela.
Obecnie rynek papierów wartościowych gwałtownie się rozwija w Rosji: pojawiają się nowe rynki akcji, nowe papiery wartościowe wystawiane są na aukcję, a wielkość operacji z papierami wartościowymi rośnie każdego roku. W rozwijającej się strefie handlowej inwestorowi trudno jest skompletować potrzebne mu aktywa finansowe. Rozwiązaniem tego problemu jest teoria optymalnego portfela, za pomocą którego można tworzyć najbardziej zdywersyfikowane portfele - te, których ryzyko jest minimalne w porównaniu do wszystkich innych możliwych portfeli z akcji tych samych spółek.
Postawiliśmy więc zadanie zbudowania modelu matematycznego do określania optymalnej struktury portfela papierów wartościowych. W tym przypadku optymalność rozumiana jest jako uzyskanie z góry określonego poziomu rentowności przy możliwie najmniejszym ryzyku związanym z tą transakcją finansową.
W jakich proporcjach (udziałach) xi inwestor powinien rozdzielić zainwestowaną kwotę między dostępny zestaw aktywów funduszu, jeżeli chce, aby średni zwrot z inwestycji wynosił co najmniej d procent miesięcznie przy możliwie najniższym ryzyku w tym przypadku? Konieczne jest wybranie struktury portfela inwestycyjnego, która zminimalizowałaby wartość jego odchylenia standardowego lub jego wariancję na wybranym poziomie rentowności.
Ogólnie rzecz biorąc, model matematyczny do znalezienia optymalnej struktury portfela akcji jest następujący:
- udział papieru w optymalnym portfelu; 
- nominalna wydajność i-tego zabezpieczenia, 
- wariancja zwrotu i-tego zabezpieczenia, 
- planowana przez inwestora rentowność.
Funkcja celu jest wariancją portfela inwestycyjnego składającego się z n rodzajów papierów wartościowych. Pierwszym ograniczeniem jest matematyczna forma rejestrowania zwrotu z rzeczywistego portfela inwestycyjnego. Drugie ograniczenie odzwierciedla fakt, że przy pełnej inwestycji suma wszystkich akcji będzie jedna.
Obliczamy specyficzną strukturę portfela inwestycyjnego z danym oczekiwanym zyskiem, zawierającym 8 rodzajów akcji i jeden rodzaj bonów skarbowych - 21165, suma n = 9. Załóżmy, że akcje te są papierami wartościowymi: akcje zwykłe (о.а) RAO UES Rosji ( EESR); o.a. OJSC Lukoil (LKOH); o.a. OJSC Rostelecom (RTKM); o.a. Sberbank of Russia (SBER); jak OAO YUKOS Oil Company (UYKO), JSC Tatneft JSC (TATN), JSC Sibneft JSC (SIBN), JSC Sverdlovenergo JSC (SVEN).
Oznacz jako x1, x2, ..., x8 jako udziały w optymalnym portfelu powyższej sekwencji akcji i x9 - GKO-21165.
Załóżmy, że inwestor chce uzyskać z tego portfela gwarantowany zwrot, na przykład przekraczający średnią na rynku akcji. Miarą tego zwrotu może być wzrost indeksu rosyjskiego MICEX.
Przedział czasu, na podstawie którego określono informacje statystyczne (cytaty t / b): od 01.20.2003 do 06.20.2003
Zgodnie z notowaniami papierów wartościowych ustalamy ich rentowność (ze względu na brak informacji o dywidendach badanych akcji, nie są one uwzględniane w rentowności).
W celu utworzenia funkcji celu wskaźniki rentowności papierów wartościowych w okresie badania z 1 zainwestowanego rubla, tj. zakup c / b na początku okresu i sprzedaż na koniec (korekta z tytułu inflacji nie jest brana pod uwagę).
Aby skonstruować ograniczenia, stosuje się zysk z papierów wartościowych obliczony w krótszym przedziale czasowym niż okres badania, aby uzyskać inwestora planowaną stopę zwrotu w całym okresie, to jest w każdym z przedziałów. Tak więc w naszym przykładzie przedział jest wybierany na 3 dekady, a liczba okresów wynosi pięć ( t = 1..5 ).
Poszukiwanie rozwiązania określono za pomocą programu Microsoft Excel . Poszukiwanie rozwiązania wykorzystuje nieliniowy algorytm optymalizacji generalizowanej redukcji gradientu (GRG2) opracowany przez Leona Lasdona (University of Texas w Austin) i Alana Worena (Allan Waren, Cleveland State University).
Podczas rozwiązywania problemu znaleziono optymalne rozwiązanie, które spełnia wszystkie ograniczenia:
Tabela 1 Rozwiązanie problemu optymalizacji.
Wartość wariancji portfela wynosi = 0,00069
Konkluzja: Jeśli inwestor chce osiągnąć zysk powyżej średniej na rynku akcji MICEX, w każdym miesiącu okresu inwestycyjnego i jednocześnie realizować inwestycję minimalnego ryzyka, musi rozdzielić zainwestowaną kwotę w następujący sposób:
- o.a. RAO „UES of Russia” (EESR) - 12,16%;
- o.a. OJSC Lukoil (LKOH) - 39,14%;
- o.a. OJSC Rostelecom (RTKM) - 29,19%;
- jak Sibneft OJSC (SIBN) - 2,36%;
- jak JSC Sverdlovenergo (SVEN) - 17,14%.
Literatura
- Kuznetsov M.V., Ovchinnikov A.S. Analiza techniczna rynku c / b. - M: Lan, 1996. - 340 p.
- Sharp U. F., Alexander G. J., Bailey J. V. Investments: trans. z angielskiego. - M.: Infra-M, 1997.
- Chetyrkina E.M. Matematyka finansowa. –M.: Phoenix, 2000. - 285 p.
- Schwanger J. Analiza techniczna. - M.: Infra, 2001. - 250s.
- Teoria optymalnego portfolio http://franklin-grant.ru/ru/technologies
346411, Novocherkassk, ul. Zhelyabova, 79, t.4-15-25
e-mail: [email protected]
Optymalne portfolio, portfel zamówień, optymalizacja matematyczna, rentowność, ryzyko, struktura portfela, rentowność nominalna, rosyjskie papiery wartościowe, rentowność rosyjskich papierów wartościowych, dyspersja
